Les applications infinies des équilibres de Nash expliquées : Pourquoi John Nash était un génie
Le lauréat du prix Nobel John F. Nash Jr est décédé dimanche dans un accident de voiture.
Le concept d'équilibre de Nash est intuitif, élégant et relativement facile à comprendre. Il est suffisamment spécifique pour générer des résultats et des analyses significatifs, mais suffisamment général pour être étendu et appliqué à une variété de disciplines. John F. Nash Jr est décédé dimanche dans un accident de voiture. Il rentrait chez lui de l'aéroport de Newark, tout juste de retour de Norvège, où il a reçu le prestigieux prix Abel de mathématiques. Les travaux de Nash sur la théorie des jeux, pour lesquels il a obtenu le prix Nobel d'économie en 1994 - il est la seule personne à avoir remporté les deux distinctions - sont probablement les plus connus. Le concept d'équilibre de Nash est intuitif, élégant et relativement facile à comprendre. Il est suffisamment spécifique pour générer des résultats et des analyses significatifs, mais suffisamment général pour être étendu et appliqué à une variété de disciplines - biologie évolutive, économie, études de défense et politique, par exemple. Mais la communauté mathématique considère son travail en géométrie et en équations aux dérivées partielles comme le plus important et le plus profond, selon sa citation du prix Abel.
Il est incroyable que les travaux de Nash, lauréats des prix Nobel et Abel, aient été achevés à l'âge de 30 ans. Il n'a écrit qu'un seul article de 23 pages en 1958 sur les équations aux dérivées partielles, et comme Harold W Kuhn l'a noté lors du séminaire Nobel en 1994 , les résultats pour lesquels il est honoré cette semaine ont été obtenus au cours de ses 14 premiers mois d'études supérieures. En effet, Nash est venu à Princeton en tant qu'étudiant en doctorat avec une lettre de recommandation d'une ligne de R L Duffin du Carnegie Institute of Technology, où il était étudiant de premier cycle : cet homme est un génie. A W Tucker, le directeur de thèse de Nash à Princeton, écrivit des années plus tard : J'ai parfois pensé que cette recommandation était extravagante, mais plus je connais Nash depuis longtemps, plus je suis enclin à convenir que Duffin avait raison.
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Mais au début de 1959, Nash a commencé à devenir incontrôlable et a commencé à présenter des symptômes de schizophrénie. Il est devenu paranoïaque et délirant, et à part quelques brèves périodes de clarté, ses recherches ont pris fin pendant environ quatre décennies. Au cours de cette même période, le nom de Nash, le jeu non coopératif auquel il a donné forme et définition, et son concept d'équilibre faisaient partie de la formation de base en théorie des jeux de premier cycle.
Alors, qu'est-ce qu'un jeu non coopératif ? Ce n'est pas un jeu où la coopération est exclue en raison de la structure des gains, comme dans un jeu à somme nulle, où le bénéfice d'un joueur implique la perte d'un autre. Il peut y avoir des possibilités de coopération dans le jeu, mais elles sont exclues car il n'existe aucun mécanisme, comme un contrat juridiquement contraignant, pour garantir l'engagement dans des stratégies collusoires.
Un jeu non coopératif simple et célèbre est le dilemme du prisonnier (photo ci-dessus). Supposons que deux conspirateurs soient arrêtés et interrogés simultanément dans des pièces séparées. Chacune a la possibilité d'avouer ou de rester maman et se voit proposer un marché : si elle avoue (mais pas le partenaire du crime), elle peut s'en tirer indemne tandis que le complice ira en prison pendant 10 ans. Mais si les deux choisissaient de se taire, ils iraient en prison pendant un an chacun pour délits mineurs. Et si les deux avouent, ils iraient en prison pendant huit ans chacun.
L'équilibre de Nash unique du jeu est l'endroit où les deux joueurs s'avouent. Fait intéressant, les deux seraient mieux si aucun n'avouait. Mais ce n'est pas un équilibre de Nash, qui est défini comme un état stable dans lequel aucun joueur ne peut améliorer le résultat pour lui-même compte tenu de ce que font les autres joueurs. Supposons un instant que les deux joueurs indiquent d'une manière ou d'une autre qu'ils choisiront de ne pas avouer. Dans une telle situation, étant donné que le joueur B n'avoue pas, le joueur A ferait mieux de renoncer et de choisir d'avouer à la place – aucune peine de prison n'est plus attrayante qu'un an derrière les barreaux. La même chose est vraie pour le joueur B. Ainsi, les deux s'écarteraient de leur engagement de se taire et de se confesser à la place.
Les applications des équilibres de Nash et des jeux non coopératifs sont infinies. Par exemple, certains en Inde ont noté qu'aujourd'hui, le capital privé semble attendre que le cycle d'investissement démarre avant d'investir son propre argent. Cette situation pourrait être modélisée comme un jeu non coopératif entre deux investisseurs potentiels, où les avantages de l'investissement ne sont réalisés que si les deux s'enfoncent dans leur argent. Dans un tel jeu, il existe deux équilibres de Nash : un, où les deux joueurs investissent, et deux, où aucun n'investit. Nous semblons être coincés dans le mauvais équilibre. Et tandis que Nash a pu prouver l'existence d'au moins un équilibre pour un jeu non coopératif, la théorie est muette sur les raisons pour lesquelles un en particulier résulte et pas un autre. C'est là qu'interviennent le gouvernement, la société et les normes — pour nous pousser du mauvais équilibre au bon.
parth.mehrotra@expressindia.com
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